函数求极限

常用的求极限方法（8种）

方法1 利用基本极限求极限

方法2 利用等价无穷小代换求极限

方法3 利用有理运算法则求极限

方法4 利用洛必达法则求极限

方法5 利用泰勒公式求极限

方法6 利用夹逼原理求极限

方法7 利用单调有界准则求极限

方法8 利用定积分定义求极限

方法1 利用基本极限求极限

1）常用的基本极限

lim⁡x→0sinxx=1\lim\limits_{x\rarr0} \frac{sin x}{x} = 1

lim⁡x→0(1+x)1x=e\lim\limits_{x\rarr0}(1+x)^\frac{1}{x} = e

lim⁡x→∞(1+1x)x=e\lim\limits_{x\rarr\infty}(1+\frac{1}{x})^x=e （这里注意一下，比如lim⁡x→∞(1+(±)ax)x=e(±)a\lim\limits_{x\to \infty}(1+{(\pm)a \over x})^x = e^{(\pm)a}）

lim⁡x→0ax−1x=ln⁡a\lim\limits_{x\rarr0}\frac{a^x-1}{x} = \ln a

lim⁡n→∞nn=1\lim\limits_{n\to \infty}{\sqrt[n]{n}} = 1

lim⁡n→∞an=1,(a>0)\lim\limits_{n\to \infty}\sqrt[n]{a} =1,(a>0)

lim⁡x→∞anxn+an−1xn−1+...+a1x+a0bmxm+bm−1xm−1+...+b1x+b0={anbm,n=m,0,n<m,∞,n>m.\lim\limits_{x\to \infty}{a_n x^n+a_{n-1} x^{n-1}+...+a_1x+a_0 \over b_mx^m + b_{m-1} x^{m-1}+...+b_1x+b_0} = \begin{cases}{a_n \over b_m},n=m,\\ 0,n<m,\\ \infty, n>m.\end{cases}

lim⁡x→∞xn={0,∣x∣<1,∞,∣x∣>1,1,x=1,不存在,x=−1.\lim\limits_{x \to \infty}x^n = \begin{cases} 0,|x|<1,\\ \infty, |x|>1, \\ 1,x=1, \\ 不存在, x=-1.\end{cases}

lim⁡n→∞enx={0,x<0,+∞,x>0,1,x=0.\lim\limits_{n\to \infty} e^{nx} = \begin{cases} 0,x<0,\\ +\infty,x>0, \\ 1, x=0.\end{cases}

2）“1∞1^{\infty}” 型极限常用结论

若lim⁡α(x)=0,lim⁡β(x)=∞，且lim⁡α(x)β(x)=A\lim{\alpha(x)}=0, \lim{\beta{(x)}=\infty}，且\lim{\alpha(x)\beta(x) = A}

则lim⁡(1+α(x))β(x)=eA\lim{(1+\alpha(x))^{\beta(x)}}=e^A

可以归纳为以下三步：

1）写标准形式 原式=lim⁡[1+α(x)]β(x);\lim{[1+\alpha(x)]^{\beta(x)}};

2）求极限 lim⁡α(x)β(x)=A;\lim{\alpha(x)\beta(x)} =A;

3）写结果 原式=eA.=e^A.

方法2 利用等价无穷小代换求极限

（1）代换原则：

a）乘除关系可以换

若α等价于α1,β等价于β1,则若{\alpha}等价于\alpha_1 , \beta 等价于 \beta_1,则

lim⁡αβ=lim⁡α1β=limαβ1\lim{\alpha \over \beta} = \lim{\alpha_1 \over \beta} = lim{\alpha \over \beta_1}

b）加减关系在一定条件下可以换

若α∼α1,β∼β1,且lim⁡α1β1=A≠1则α−β∼α1−β1.若\alpha \sim \alpha_1 , \beta \sim \beta_1 , 且\lim{\alpha_1 \over \beta_1} = A \neq 1 则 \alpha-\beta \sim \alpha_1 - \beta_1.

若α∼α1,β∼β1,且limαβ1=A≠−1,α+β∼α1+β1.若\alpha \sim \alpha_1, \beta \sim \beta_1,且 lim{\alpha \over \beta_1} = A \neq -1, \alpha + \beta \sim \alpha_1 + \beta_1.

（2）常用的等价无穷小：当x→0x\to 0时

x∼sinx∼tanx∼arcsinx∼arctanx∼ln(1+x)∼ex−1;x \sim sinx \sim tanx \sim arcsinx \sim arctanx \sim ln(1+x) \sim e^x-1;

ax−1∼xlna,          (1+x)α−1∼αx,          1−cosαx∼α2x2a^x-1 \sim xlna, ~~~~~~~~~~(1+x)^{\alpha}-1 \sim \alpha x,~~~~~~~~~~ 1-cos^{\alpha}x \sim {\alpha \over 2}x^2

x−sinx∼16x3          tanx−x∼13x3x-sinx \sim {1 \over 6}x^3 ~~~~~~~~~~tanx-x \sim {1 \over 3}x^3

arcsinx−x∼16x3          x−arctanx∼13x3arcsinx -x \sim {1 \over 6}x^3 ~~~~~~~~~~ x-arctanx \sim {1 \over 3}x^3

x−ln(1+x)∼12x2x-ln(1+x) \sim \frac{1}{2}x^2

特殊例题注意：

（2006年2）求极限\lim_\limits{x \to 0} {1 \over x^3}[({2+cosx \over 3})^x-1]

解2：原式=\lim_\limits{x \to 0} {1 \over x^3}[(1+{cosx-1 \over 3})^x-1]

==注：==当x→0时,(1+x)α−1∼αx.这个结论推广可得:x \to 0 时,(1+x)^{\alpha} -1 \sim \alpha x . 这个结论推广可得:

若α(x)→0,α(x)β(x)→0,\alpha(x) \to 0 , \alpha(x) \beta(x) \to 0,

则(1+α(x))β(x)−1∼α(x)β(x)(1+\alpha(x))^{\beta (x)}-1 \sim \alpha (x) \beta (x)

方法3 利用有理运算法则求极限

有理运算法则

若lim⁡f(x)=A,lim⁡g(x)=B,那么(注意两者都是存在极限的意思)：若\lim f(x)=A, \lim g(x)=B,那么(注意两者都是存在极限的意思)：

lim⁡(f(x)±g(x))=lim⁡f(x)±lim⁡g(x)\lim(f(x) \pm g(x))= \lim f(x) \pm \lim g(x)

lim⁡(f(x)⋅g(x))=lim⁡f(x)⋅lim⁡g(x)\lim(f(x)·g(x)) = \lim f(x) · \lim g(x)

lim⁡(f(x)g(x))=lim⁡f(x)lim⁡g(x)(B≠0)\lim({f(x) \over g(x)}) = {\lim f(x) \over \lim g(x)} (B \neq 0)

==注：==

1）存在±不存在=不存在；存在 \pm 不存在 = 不存在；

2）不存在±不存在=不一定.不存在 \pm 不存在 = 不一定.

3）存在×÷不存在=不一定；存在 \times \div 不存在 =不一定；

4）不存在×÷不存在=不一定.不存在 \times \div 不存在 = 不一定.

方法4 利用洛必达法则求极限

洛必达法则

若 1）\lim_\limits{x \to x_0}{f(x)} = \lim_\limits{x \to x_0}{g(x)} = 0 (\infty);

2）f(x)和g(x)在x0的某去心领域内可导，且g′(x)≠0;f(x)和 g(x)在x_0的某去心领域内可导，且g'(x) \neq 0;

3）\lim_\limits{x \to x_0}{f'(x) \over g'(x)}存在(或 \infty);

则\lim_\limits{x \to x_0}{f(x) \over g(x)} = \lim_\limits{x \to x_0}{f'(x) \over g'(x)}.

==注:==ln∣x∣求导仍然是1xln|x|求导仍然是{1 \over x}

==注：==

1）适用类型          00;∞∞;0⋅∞;∞−∞;1∞;∞0;00~~~~~~~~~~{0 \over 0};{\infty \over \infty};0·\infty;\infty-\infty; 1^{\infty}; \infty ^0 ; 0^0

2）解题思路          00⋅∞∞⇐{0⋅∞⇐{1∞∞000∞−∞~~~~~~~~~~ {0\over 0} ·{\infty \over \infty} \Larr {\begin{cases}0·\infty {\Larr \begin{cases} 1^{\infty} \\ {\infty}^0 \\ 0^0 \end{cases}} \\ \infty - \infty \end{cases}}

方法5 利用泰勒公式求极限

定义（泰勒公式）设f(x)在x=x0处n阶可导，则定义（泰勒公式）设f(x)在x=x_0处n阶可导，则

f(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+⋅⋅⋅+f(x)(x0)n!(x−x0)n+o(x−x0)nf(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+···+{f^{(x)}(x_0) \over n!}(x-x_0)^n+o(x-x_0)^n

几个常用的泰勒公式

(1)ex=1+x+x22!+⋅⋅⋅+xnn!+o(xn)(1) e^x=1+x+{x^2 \over 2!}+···+{x^n \over n!}+ o(x^n)

(2)sinx=x−x33!+⋅⋅⋅+(−1)n−1x2n−1(2n−1)!+o(x2n)(2)sinx =x-{x^3 \over 3!}+···+(-1)^{n-1}{x^{2n-1} \over (2n-1)!} + o(x^{2n})

(3)cosx=1−x22!+⋅⋅⋅+(−1)nx2n(2n)!+o(x2n)(3) cosx= 1-{x^2 \over 2!}+···+(-1)^n{x^{2n} \over (2n)!}+ o(x^{2n})

(4)ln(1+x)=x−x22+⋅⋅⋅+(−1)n−1xnn+o(xn)(4) ln(1+x)=x-{x^2 \over 2}+···+(-1)^{n-1}{x^n \over n}+o(x^n)

(5)(1+x)α=1+αx+α(α−1)2!x2+⋅⋅⋅+α(α−1)⋅⋅⋅(α−n+1)n!xn+o(xn)(5) (1+x)^{\alpha}=1+\alpha x + {\alpha (\alpha -1) \over 2!}x^2+··· + {\alpha (\alpha -1)···(\alpha -n +1) \over n!}x^n+o(x^n)

方法6 利用夹逼原理求极限

方法7 利用单调有界准则求极限

方法8 利用定积分定义求极限