函数求极限

常用的求极限方法（8种）

方法1 利用基本极限求极限

方法2 利用等价无穷小代换求极限

方法3 利用有理运算法则求极限

方法4 利用洛必达法则求极限

方法5 利用泰勒公式求极限

方法6 利用夹逼原理求极限

方法7 利用单调有界准则求极限

方法8 利用定积分定义求极限

方法1 利用基本极限求极限

1）常用的基本极限

$\lim\limits_{x\rarr0} \frac{sin x}{x} = 1$

$\lim\limits_{x\rarr0}(1+x)^\frac{1}{x} = e$

$\lim\limits_{x\rarr\infty}(1+\frac{1}{x})^x=e$ （这里注意一下，比如$\lim\limits_{x\to \infty}(1+{(\pm)a \over x})^x = e^{(\pm)a}$）

$\lim\limits_{x\rarr0}\frac{a^x-1}{x} = \ln a$

$\lim\limits_{n\to \infty}{\sqrt[n]{n}} = 1$

$\lim\limits_{n\to \infty}\sqrt[n]{a} =1,(a>0)$

$\lim\limits_{x\to \infty}{a_n x^n+a_{n-1} x^{n-1}+…+a_1x+a_0 \over b_mx^m + b_{m-1} x^{m-1}+…+b_1x+b_0} = \begin{cases}{a_n \over b_m},n=m,\ 0,n<m,\ \infty, n>m.\end{cases}$

$\lim\limits_{x \to \infty}x^n = \begin{cases} 0,|x|<1,\ \infty, |x|>1, \ 1,x=1, \ 不存在, x=-1.\end{cases}$

$\lim\limits_{n\to \infty} e^{nx} = \begin{cases} 0,x<0,\ +\infty,x>0, \ 1, x=0.\end{cases}$

2）”$1^{\infty}$” 型极限常用结论

若$\lim{\alpha(x)}=0, \lim{\beta{(x)}=\infty}，且\lim{\alpha(x)\beta(x) = A}$

则$\lim{(1+\alpha(x))^{\beta(x)}}=e^A$

可以归纳为以下三步：

1）写标准形式原式=$\lim{[1+\alpha(x)]^{\beta(x)}};$

2）求极限 $\lim{\alpha(x)\beta(x)} =A;$

3）写结果原式$=e^A.$

方法2 利用等价无穷小代换求极限

（1）代换原则：

a）乘除关系可以换

$若{\alpha}等价于\alpha_1 , \beta 等价于 \beta_1,则$

$\lim{\alpha \over \beta} = \lim{\alpha_1 \over \beta} = lim{\alpha \over \beta_1}$

b）加减关系在一定条件下可以换

$若\alpha \sim \alpha_1 , \beta \sim \beta_1 , 且\lim{\alpha_1 \over \beta_1} = A \neq 1 则 \alpha-\beta \sim \alpha_1 - \beta_1.$

$若\alpha \sim \alpha_1, \beta \sim \beta_1,且 lim{\alpha \over \beta_1} = A \neq -1, \alpha + \beta \sim \alpha_1 + \beta_1.$

（2）常用的等价无穷小：当$x\to 0$时

$x \sim sinx \sim tanx \sim arcsinx \sim arctanx \sim ln(1+x) \sim e^x-1;$

$a^x-1 \sim xlna, ~~~~~~~~~~(1+x)^{\alpha}-1 \sim \alpha x,~~~~~~~~~~ 1-cos^{\alpha}x \sim {\alpha \over 2}x^2$

$x-sinx \sim {1 \over 6}x^3 ~~~~~~~~~~tanx-x \sim {1 \over 3}x^3$

$arcsinx -x \sim {1 \over 6}x^3 ~~~~~~~~~~ x-arctanx \sim {1 \over 3}x^3$

$x-ln(1+x) \sim \frac{1}{2}x^2$

特殊例题注意：

（2006年2）求极限$\lim_\limits{x \to 0} {1 \over x^3}[({2+cosx \over 3})^x-1]$

解2：原式=$\lim_\limits{x \to 0} {1 \over x^3}[(1+{cosx-1 \over 3})^x-1]$

==注：==当$x \to 0 时,(1+x)^{\alpha} -1 \sim \alpha x . 这个结论推广可得:$

若$\alpha(x) \to 0 , \alpha(x) \beta(x) \to 0,$

则$(1+\alpha(x))^{\beta (x)}-1 \sim \alpha (x) \beta (x)$

方法3 利用有理运算法则求极限

有理运算法则

$若\lim f(x)=A, \lim g(x)=B,那么(注意两者都是存在极限的意思)：$

$\lim(f(x) \pm g(x))= \lim f(x) \pm \lim g(x)$

$\lim(f(x)·g(x)) = \lim f(x) · \lim g(x)$

$\lim({f(x) \over g(x)}) = {\lim f(x) \over \lim g(x)} (B \neq 0)$

==注：==

1）$存在 \pm 不存在 = 不存在；$

2）$不存在 \pm 不存在 = 不一定.$

3）$存在 \times \div 不存在 =不一定；$

4）$不存在 \times \div 不存在 = 不一定.$

方法4 利用洛必达法则求极限

洛必达法则

若 1）$\lim_\limits{x \to x_0}{f(x)} = \lim_\limits{x \to x_0}{g(x)} = 0 (\infty);$

2）$f(x)和 g(x)在x_0的某去心领域内可导，且g’(x) \neq 0;$

3）$\lim_\limits{x \to x_0}{f’(x) \over g’(x)}存在(或 \infty);$

$则\lim_\limits{x \to x_0}{f(x) \over g(x)} = \lim_\limits{x \to x_0}{f’(x) \over g’(x)}.$

==注:==$ln|x|求导仍然是{1 \over x}$

==注：==

1）适用类型$~~~~~~~~~~{0 \over 0};{\infty \over \infty};0·\infty;\infty-\infty; 1^{\infty}; \infty ^0 ; 0^0$

2）解题思路$~~~~~~~~~~ {0\over 0} ·{\infty \over \infty} \Larr {\begin{cases}0·\infty {\Larr \begin{cases} 1^{\infty} \ {\infty}^0 \ 0^0 \end{cases}} \ \infty - \infty \end{cases}}$

方法5 利用泰勒公式求极限

$定义（泰勒公式）设f(x)在x=x_0处n阶可导，则$

$f(x)=f(x_0)+f’(x_0)(x-x_0)+···+{f^{(x)}(x_0) \over n!}(x-x_0)^n+o(x-x_0)^n$

几个常用的泰勒公式

$(1) e^x=1+x+{x^2 \over 2!}+···+{x^n \over n!}+ o(x^n)$

$(2)sinx =x-{x^3 \over 3!}+···+(-1)^{n-1}{x^{2n-1} \over (2n-1)!} + o(x^{2n})$

$(3) cosx= 1-{x^2 \over 2!}+···+(-1)^n{x^{2n} \over (2n)!}+ o(x^{2n})$

$(4) ln(1+x)=x-{x^2 \over 2}+···+(-1)^{n-1}{x^n \over n}+o(x^n)$

$(5) (1+x)^{\alpha}=1+\alpha x + {\alpha (\alpha -1) \over 2!}x^2+··· + {\alpha (\alpha -1)···(\alpha -n +1) \over n!}x^n+o(x^n)$