极限概念

$$||a|-|b||<=|a-b|$$

见到e无穷就注意分左右。

见到arctan也要注意分左右。

什么是等价无穷小：

等价无穷小意味着：

$$\lim\limits_{x\rarr0}\frac{a(x)}{b(x)}=1$$

比如:

$$a(x)=x^2 和 b(x)=3x^2$$

这个都是二阶的，但是它们并非等价无穷小，因为等价无穷小意味着：

$$\lim\limits_{x\rarr0}\frac{a(x)}{b(x)}=1$$

而上面这个例子结果是$$3\neq1$$

这就叫同阶不等价无穷小，因为同阶无穷小包括等价无穷小

无穷小的性质

有限个无穷小的和仍是无穷小。

有限个无穷小的积仍是无穷小。

无穷小量与有界量的积仍是无穷小。

无穷大量

无穷大量的概念，若函数$$f(x)当x\rarr x_0(或x\rarr\infty)时趋于无穷，则称f(x)为x\rarr x_0(或x \rarr \infty)时的无穷大量。$$

即:若对任意给的的M>0，总存在$$\delta$$ >0，当

0<|x-x_0|<\delta时，横有|f(x)|>M$$.

常用的一些无穷大量的比较

（1）当$$x\rarr+\infty时$$

$$ln^\alpha x << x^\beta << a^x$$

其中$$\alpha>0,\beta >0 ,a>1$$

(2)数列里面当$$n\rarr \infty时$$

$$ln^\alpha n<< n^\beta << n! << n^n$$

其中$$\alpha>0,\beta>0,a>1$$

无穷大量的性质

（1）两个（有限个）无穷大量的积仍为无穷大量；

（2）无穷大量与有界变量之和仍为无穷大量。

无穷大量与无界变量的关系：

1）数列$${x_n}$$是无穷大量：

$$\forall M>0,\exists N>0,当n>N时，恒有|x_n|>M.$$

2）数列$${x_n}$$是无界变量：

$$\forall M >0,\exists N>0,使|x_N|>M.$$

$$无穷大量\Rarr无界变量$$

无穷大量与无穷小量的关系

在同一极限过程中，如果$f(x)$是无穷大，则$\frac{1}{f(x)}$是无穷小；反之，如果$f(x)$是无穷小，且$f(x)\ne 0$，则$\frac{1}{f(x)}$是无穷大；