导数的定义

高数2-1 导数的定义

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常考题型与典型例题：

1.导数定义；==难点==

2.复合函数、隐函数、参数方程求导；

3.高阶导数;==难点==

4.导数应用;

斜率和导数

导数（Derivative），也叫导函数值。又名微商，是微积分学中重要的概念。导数其实就是函数在某一个点的斜率，或者可以说成是该点的瞬时变化率。

（一）导数与微分的概念

1.导数的概念

定义1（导数）f'(x_0)= \lim_\limits{△x \to 0}{△y \over △x} = \lim_\limits{△x \to 0}{f(x_0 + △x)-f(x_0) \over △x}

f'(x_0) = \lim_\limits{x \to x_0}{f(x)-f(x_0) \over x-x_0}

定义2（左导数）f'_-(x_0)= \lim_\limits{△x \to 0^-}{△y \over △x} = \lim_\limits{△x \to 0^-}{f(x_0 + △x)-f(x_0) \over △x}

定义3（右导数）f'_+(x_0) = \lim_\limits{△x \to 0^+}{△y \over △x} = \lim_\limits{△x \to 0^+}{f(x_0 + △x)-f(x_0) \over △x}

定理1 可导的充要条件：左右导数都存在且相等。左右导数都存在且相等才能推出可导。

即：$可导\Lrarr 左右导数都存在且相等$

定义4（区间上可导及导函数）

给一个(a，b)区间上可导是指在这个区间内每个点都有导数，我们就称为在这个区间上可导。

（一） 导数的定义

例：(1994年3)已知f'(x_0)=-1，则\lim_\limits{x \to 0}{x \over f(x_0-2x)-f(x_0 - x) }= ?.

==注==：如果只只需要答案的题目可以使用具体函数法来解这种题。但是具体函数法不能使用在解答题！！！

例20注意，这题考的是导数定义的逆向推导，而是否可导必须要满足其全部条件才行，即：可以通过其导基本形式，其中可变项必须是趋于0并且不等于0，而且其中趋于0必须满足正负的趋于，不能是单边。

微分的概念

$定义5（微分）如果△y=f(x_0 +△x)- f(x_0)可以表示为$

$△y=A△x+ o(△x)~~~~~~~~~~~~~(△x \to 0)$

==注：==这里$o(△x)$指的是$△x$的高阶无穷小

$则称函数f(x)在点x_0 处可微，称 A△x为微分，记为$

$dy=A△x$

微分其实就是函数该变量的近似值