期望

前言：

数学期望当前在OI中是一个类似于数论方面门槛的知识，在竞赛中有考察。本文将详细的讲解此内容，但也不是只纠缠于简单的概念，而会解决一些题目.可能这样介绍的知识对于大佬来说还是比较基础，但对像我这样的萌新来说通俗易懂，所以请各位口下留情。

什么是期望

日常生活中，我们每做一件事，都有对它的期望，这里的期望不仅仅只结果的胜负之类，也可以与状态有关。但在OI中，一般指的就是达到结果的期望，最朴素的计算是每次可能结果的概率乘以其结果的总和

这是最基本的数学特征。

广义下的定义：一次随机抽样中所期望的某随机变量的取值。

数学定义：

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2、期望的小性质：

  • 设X是随机变量，C是常数，则 𝐸(𝐶𝑋)=𝐶×𝐸(𝑋)

简单证明一下：

设x 的多个随机变量为

𝐶𝑎1,𝐶𝑎2,𝐶𝑎3...𝐶𝑎𝑛𝐶𝑎_1,𝐶𝑎_2,𝐶𝑎_3...𝐶𝑎_𝑛

对应的出现概率为

𝑝1,𝑝2,𝑝3...𝑝𝑛𝑝_1,𝑝_2,𝑝_3...𝑝_𝑛

那么对应的求期望的式子

𝐸(𝐶𝑋)=𝐶∑i=1n=(ai×pi)𝐸(𝐶𝑋)=𝐶\sum^n_{i=1}=(a_i×p_i)

(C提出来)

由于：

𝐸(𝑋)=∑i=1n=(ai×pi)𝐸(𝑋)=\sum^n_{i=1}=(a_i×p_i)

所以

E(CX)=C×E(X)E(CX)=C\times E(X)

另一些简单的性质：

  • 设X，Y是任意两个随机变量，则有 $𝐸(𝑋+𝑌)=𝐸(𝑋)+𝐸(𝑌) $。
  • 设X，Y是相互独立的随机变量，则有$ 𝐸(𝑋𝑌)=𝐸(𝑋)×𝐸(𝑌)$ 。
  • 设C为常数，则$ 𝐸(𝐶)=𝐶 $。

3.期望与均值？

期望与均值是两个十分相近的概念，但又可以说是截然不同。

  • 均值往往是在实验中简单的对数据进行平均。
  • 而期望就好像在上帝视角的人。

举个掷骰子的例子：

我们的均值怎么算呢？

显然要掷上一定多的次数来求平均数。

比如，掷了6次，分别为$ 1,5,5,6,3,3 $，那么均值为 1+5+5+6+3+36=3.8333333...{1+5+5+6+3+3 \over 6} =3.8333333...

可是期望呢？

我们不用掷骰子就能计算出来：

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可以看出，两个值是有明显差别的，而且还时刻不同。

但是为什么容易弄混呢？

因为在将多个均值求均值后，两者就无限接近了。

定义

设P(x)P(x)是一个离散概率分布函数，自变量的取值范围为{x1,x2,...,xn}\{x_1,x_2,...,x_n\}。其期望呗定义为：

E(x)=∑k=1nxkP(xk)E(x)=\sum_{k=1}^nx_kP(x_k)

设p(x)是一个连续概率密度函数。其期望为：

E(x)=∫−∞+∞xp(x)dxE(x)=\int^{+\infty}_{-\infty}xp(x)dx

性质

1、线性运算规则

期望服从线性性质（可以很容易从期望的定义公式中导出）。因此线性运算的期望等于期望的线性运算

E(ax+by+c)=aE(x)+bE(y)=cE(ax+by+c)=aE(x)+bE(y)=c

这个性质可以推广到任意一般情况：

E(∑k=1naixi+c)=∑k=1naiE(xi)+cE(\sum^n_{k=1}a_ix_i+c)=\sum^n_{k=1}a_iE(x_i)+c

2、函数的期望

设f(x)f(x)为x的函数，则f(x)f( x )的期望为：

离散：

E(f(x))=∑k=1nf(xk)P(xk)E(f(x))=\sum^n_{k=1}f(x_k)P(x_k)

连续：

E(f(x))=∫−∞+∞f(x)p(x)dxE(f(x))=\int^{+\infty}_{-\infty}f(x)p(x)dx

一定要注意，函数的期望不等于期望的函数，即E(f(x))/=f(E(x))!E(f(x))/=f(E(x))!。

3、乘积的期望

一般来说，乘积的期望不等于期望的乘积，除非变量相互独立。因此，如果x和y相互独立，则E(xy)=E(x)E(y)E(xy)=E(x)E(y)。

期望的运算构成了统计量的运算基础，因为方差、协方差等统计量本质上是一种特殊的期望。